สมบัติของเส้นขนาน

 เส้นขนานมีสมบัติที่สำคัญ 2 ประการ

1. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นี้จะขนานกัน

จากรูป ถ้าส่วนของเส้นตรง MN ตัดส่วนของเส้นตรง AB และส่วนของเส้นตรง CD ทำให้ มุม 1 มีขนาดเท่ากับ มุม 2 แล้วจะได้ว่า ส่วนของเส้นตรง AB และ ส่วนของเส้นตรง  CD  ขนานกัน

2. ถ้าเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันได้ 180° แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน

จากรูป ถ้าส่วนของเส้นตรง MN ตัดส่วนของเส้นตรง AB และส่วนของเส้นตรง CD ทำให้ มุม 1 + มุม 2 = 180° แล้วจะได้ว่า ส่วนของเส้นตรง AB และ ส่วนของเส้นตรง  CD  ขนานกัน

อ้างอิง : สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. 2562. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1. 7. กรุงเทพมหานคร 

 

ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด 2.3 ก หนังสือเรียนวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ม. 1 เล่ม 1 พ.ศ. 2560 (หลักสูตร 2551)

เฉลยแบบฝึกหัด ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด 2.3 ก

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1 ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560 (ตามหลักสูตรแกนกลาง พ.ศ. 2551)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ

ISBN 978-616-362-779-7

ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด 2.2 ค หนังสือเรียนวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ม. 1 เล่ม 1 พ.ศ. 2560 (หลักสูตร 2551)

 เฉลยแบบฝึกหัด ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด 2.2 ค

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1 ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560 (ตามหลักสูตรแกนกลาง พ.ศ. 2551) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ ISBN 978-616-362-779-7

ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด 2.2 ข หนังสือเรียนวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ม. 1 เล่ม 1 พ.ศ. 2560 (หลักสูตร 2551)

เฉลยแบบฝึกหัด ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด 2.2 ข

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1 ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560 (ตามหลักสูตรแกนกลาง พ.ศ. 2551) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ ISBN 978-616-362-779-7

ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด 2.2 ก หนังสือเรียนวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ม. 1 เล่ม 1 พ.ศ. 2560 (หลักสูตร 2551)

เฉลยแบบฝึกหัด ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด 2.2 ก

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1 ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560 (ตามหลักสูตรแกนกลาง พ.ศ. 2551) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ ISBN 978-616-362-779-7

การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต

การสร้างรูปเรขาคณิตต้องอาศัยความรู้ในการสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต (basic geometric construction) 6 ข้อ ดังนี้

1. การสร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่ากับความยาวของส่วนของเส้นตรงที่กำหนดให้

2. การแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่กำหนดให้

3. การสร้างมุมให้มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมที่กำหนดให้

4. การแบ่งครึ่งมุมที่กำหนดให้

5. การสร้างเส้นตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเส้นตรงที่กำหนดให้

6. การสร้างเส้นตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่งที่อยู่บนเส้นตรงที่กำหนดให้

อ้างอิง : สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. 2562. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1. 7. กรุงเทพมหานคร 

ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด 2.1 หนังสือเรียนวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ม. 1 เล่ม 1 พ.ศ. 2560 (หลักสูตร 2551)

เฉลยแบบฝึกหัด ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด 2.1

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1 ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560 (ตามหลักสูตรแกนกลาง พ.ศ. 2551) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ ISBN 978-616-362-779-7

เรขาคณิต

1. มุมที่มีขนาดมากกว่า 0° แต่น้อยกว่า 90° เรียกว่ามุมแหลม

2. มุมที่มีขนาดมากกว่า 90° แต่น้อยกว่า 180° เรียกว่ามุมป้าน

3. ผลรวมของขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°

4. ผลรวมของขนาดของมุมภายในทั้งสี่มุมของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับ 360°

5. เส้นขนาน

    5.1 เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นขนานคู่หนึ่ง มุมแย้งที่เกิดขึ้นจะมีขนานเท่ากัน

    5.2 เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งแล้วมุมแย้งที่เกิดขึ้นมีขนาดเท่ากัน จะได้ว่าเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน

    5.3 เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นขนานคู่หนึ่ง ทำให้เกิดมุมภายในขึ้น ผลรวมของขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดจะเท่ากับ 180°

    5.4 เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้เกิดมุมภายในขึ้น ถ้าผลรวมของขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดเท่ากับ 180° จะได้ว่าเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน

6. จุดและเส้นตรงเป็นคำอนิยาม กล่าวคือเป็นคำพื้นฐานในการสื่อความหมาย โดยไม่ต้องให้คำนิยาม

7.  จุด (point) ในทางเรขาคณิตจะใช้จุดเพื่อแสดงตำแหน่ง 

8. เส้นตรง (line หรือ straight line) ในทางเรขาคณิตถือว่าเส้นตรงมึความยาวไม่จำกัด 

9. บทนิยามส่วนของเส้นตรง (line segment) คือส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มีจุดปลายสองจุด 

10. บทนิยามรังสี (ray) คือ ส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มีจุดปลายเพียงจุดเดียว 

11. บทนิยามมุม (angle) คือ รังสีสองเส้นที่มีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน เรียกรังสีสองเส้นนี้ว่าแขนของมุม และเรียกจุดปลายที่เป็นจุดเดียวกันนี้ว่า จุดยอดมุม 

12. มุมที่มีขนาด 360° เรียกว่ามุมรอบจุด

อ้างอิง : สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. 2562. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1. 7. กรุงเทพมหานคร 

สรุป คณิตศาสตร์ ม.1 เล่ม 1 บทที่ 1 จำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม, การเขียนจำนวนเต็มและการเขียนเส้นจำนวน

จำนวนเต็ม (integer)  มี 3 ชนิด

1. จำนวนเต็มบวก (positive integer) ได้แก่ 1, 2, 3, ...

    (จำนวนเต็มบวกมีชื่อเรียกอีกว่าจำนวนนับ (counting number) หรือจำนวนธรรมชาติ (natural number)

2. จำนวนเต็มศูนย์ (zero) ได้แก่ 0

3. จำนวนเต็มลบ (negative integer) ได้แก่ -1, -2, -3, ...

การเขียนจำนวนเต็ม

การเขียนจำนวนเต็มลบจะเขียนเครื่องหมาย - ไว้หน้าตัวเลข เช่น -1, -2, -10

แต่การเขียนจำนวนเต็มบวกไม่นิยมเขียนเครื่องหมาย + ไว้หน้าตัวเลข จะเขียนเฉพาะตัวเลขเลย เช่น 1, 2, 10

การเขียนจำนวนเต็มศูนย์จะเขียนเฉพาะตัวเลข 0

การเขียนเส้นจำนวน

การเขียนเส้นจำนวนจะเขียนหัวลูกศรทั้งสองข้างเพื่อแสดงว่ายังมีจำนวนอื่นๆ ที่มากกว่าหรือน้อยกว่าจำนวนที่เขียนแสดงไว้ 

บนเส้นจำนวน จำนวนที่อยู่ทางขวามือจะมากกว่าจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือเสมอ

การบวกจำนวนเต็ม

1. ค่าสัมบูรณ์ (absolute value) ของจำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง คือ ระยะที่จำนวนเต็มนั้นอยู่ห่างจาก 0 บนเส้นจำนวน

2. การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกทั้งสองจำนวนมาบวกกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวก 

3. การบวกจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบทั้งสองจำนวนมาบวกกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ 

4. การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์ไม่เท่ากัน ให้นำค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าเป็นตัวตั้งแล้วลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มชนิดเดียวกับจำนวนเต็มที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

5. การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนทั้งสองนั้นมาลบกัน ซึ่งจะได้ผลบวกเป็นศูนย์ 

6. การบวกจำนวนเต็มสองจำนวน เมื่อสลับที่ระหว่างตัวตั้งและตัวบวก ผลบวกที่ได้ยังคงเท่าเดิม

ดังนั้น การบวกจำนวนเต็มมีสมบัติการสลับที่

7. การบวกจำนวนเต็มสามจำนวน แม้จะเปลี่ยนคู่ในการบวก แต่ผลบวกที่ได้ยังคงเท่าเดิม 

ดังนั้น การบวกจำนวนเต็มมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่

จำนวนตรงข้าม (opposite number)

จำนวนตรงข้าม (opposite number) ของจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งคือจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง โดยที่จำนวนเต็มทั้งสองนี้อยู่ห่างจากศูนย์บนเส้นจำนวนเป็นระยะเท่ากัน 

ตัวอย่าง เช่น

1 คือจำนวนตรงข้ามกันกับ -1

8 คือจำนวนตรงข้ามกันกับ -8

-27 คือจำนวนตรงข้ามกันกับ 27

0 เป็นจำนวนตรงข้ามของ 0

จำนวนตรงข้ามของจำนวนเต็มมีเพียงจำนวนเดียวเท่านั้น

การลบจำนวนเต็ม

1.  การลบกันระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวน เมื่อสลับที่ระหว่างตัวตั้งและตัวลบ ผลลับที่ได้ไม่เท่ากัน

ดังนั้น การลบกันของจำนวนเต็มไม่มีสมบัติการสลับที่ 

2. การลบกันระหว่างจำนวนเต็มสามจำนวน เมื่อเปลี่ยนคู่ในการลบ ผลลบที่ได้จะไม่เท่ากัน

ดังนั้น การลบกันของจำนวนเต็มไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่

การคูณจำนวนเต็ม

1. การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก จะได้ผลคูณเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

เช่น 2 x 3 = 6

2. การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ จะได้ผลคูณเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

เช่น 2 x (-3) = -6

3. การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก จะได้ผลคูณเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

เช่น (-4) x 5 = -20

4. การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ จะได้ผลคูณเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

เช่น (-3) x (-4) = 12

5. การคูณกันระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวน เมื่อสลับที่ระหว่างตัวตั้งและตัวคูณ ผลคูณที่ได้ยังคงเท่าเดิม 

ดังนั้น การคูณกันของจำนวนเต็มมีสมบัติการสลับที่

เช่น (-2) x 3 = -6

        3 x (-2) = -6

6. การคูณกันระหว่างจำนวนเต็มสามจำนวน แม้จะเปลี่ยนคู่ในการคูณแต่ผลคูณที่ได้ยังคงเท่าเดิม 

ดังนั้น การคูณกันของจำนวนเต็มมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ 

เช่น (10 x 2) x 5 = 100

        10 x (2 x 5) = 100

7. การคูณกันระหว่างจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งกับจำนวนเต็มที่บวกกันอยู่คู่หนึ่ง มีผลลัพธ์เท่ากับผลบวกของผลคูณของจำนวนนั้นกับจำนวนเต็มแต่ละตัวของคู่ที่บวกกันอยู่ 

ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างการคูณและการบวกจำนวนเต็มมีสมบัติการแจกแจง

เช่น 10(4 + 2) = 10(6) = 60

        (10 x 4) + (10 x 2) = 40 + 20 = 60

การหารจำนวนเต็ม

1. ถ้าตัวตั้งและตัวหารเป็นจำนวนเต็มบวกทั้งคู่ ใช้วิธีเดียวกับการหารจำนวนนับด้วยจำนวนนับ ซึ่งได้ผลหารเป็นจำนวนเต็มบวก

2. ถ้าตัวตั้งและตัวหารเป็นจำนวนเต็มลบทั้งคู่ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของตัวตั้งหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของตัวหาร แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวก

3. ถ้าตัวตั้งหรือตัวหาร ตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็มลบ โดยที่อีกตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก ให้นำค่าสัมบูรณ์ของตัวตั้งหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของตัวหาร แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ

สมบัติของหนึ่งและศูนย์

1. การคูณกันระหว่างจำนวนเต็มใดๆ กับ 1 จะได้ผลคูณเท่ากับจำนวนนั้น 

เช่น     10 x 1 = 10

            1 x 20 = 20

2. การบวกกันระหว่างจำนวนเต็มใดๆ กับ 0 จะได้ผลบวกเท่ากับจำนวนนั้น

เช่น     5 + 0 = 5

           0 + 9 = 9

3. การคูณกันระหว่างจำนวนเต็มใดๆ กับศูนย์ จะได้ผลคูณเท่ากับศูนย์ 

เช่น     0 x 7 = 0

           4 x 0 = 0

4. ถ้าผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนใดเท่ากับศูนย์ จำนวนใดจำนวนหนึ่งอย่างน้อยหนึ่งจำนวนต้องเป็นศูนย์ 

อ้างอิง : สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. 2562. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1. 7. กรุงเทพมหานคร 

ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดท้ายบทที่ 1 หนังสือเรียนวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ม. 1 เล่ม 1 พ.ศ. 2560 (หลักสูตร 2551)

เฉลยแบบฝึกหัด ตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดท้ายบทที่ 1

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1 ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560 (ตามหลักสูตรแกนกลาง พ.ศ. 2551) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ ISBN 978-616-362-779-7